定积分的定义

定积分是微积分中的基本概念，用于计算曲线下的面积。设函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，将区间任意分割为 \( n \) 个小区间，每个小区间长度为 \( \Delta x_i \)，在每个小区间上任取一点 \( \xi_i \)，则定积分定义为：

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx =\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to 0} \sum\limits_{i= 1}^n {f({\xi _i})\Delta {x_i}}, \] 其中\(\lambda\)是所有子区间 \( \Delta x_i \) 的长度的最大值.

其中：

  • \( \int \) 是积分符号
  • \( a \) 和 \( b \) 分别是积分的下限和上限
  • \( f(x) \) 是被积函数
  • \( dx \) 表示积分变量
  • \( \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \) 称为积分和或黎曼和

特别注意：定积分要存在，要求对任意分割、每个子区间上任意取点，要求积分和的极限都存在且相等。

曲边梯形的分割演示

调整下面的参数，观察曲边梯形如何被分割为小矩形，以及随着分割数增加，矩形面积和如何逼近曲边梯形的面积：

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曲边梯形
小矩形
曲线

定积分的几何意义

定积分 \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) 的几何意义是曲线 \( y = f(x) \) 与 \(x\) 轴在区间 \([a, b]\) 上所围成的曲边梯形的面积。当 \( f(x) \) 在 \(x\) 轴上方时，面积为正；在 \(x\) 轴下方时，面积为负。

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面积 = 计算中...

定积分的主要性质

  • 线性运算性质
    \[ \int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) \, dx \]

    其中 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 是常数。

  • 积分对区间的可加性
    \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \]

    只要函数在三个积分区间上都可积，则上式都成立。

  • 保号性

    如果在区间 \([a, b]\) 上 \( f(x) \geq 0 \)，则 \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0 \)。

  • 保序性

    如果在区间 \([a, b]\) 上 \( f(x) \leq g(x) \)，则 \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \, dx \)。

  • 估值定理

    如果 \( m \leq f(x) \leq M \) 在区间 \([a, b]\) 上成立，则：

    \[ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M(b-a) \]
  • 积分中值定理
    \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(\xi)(b-a) \]

    其中 \( \xi \in [a, b] \)。该定理表明在区间 \([a, b]\) 上至少存在一点 \( \xi \)，使得以 \( f(\xi) \) 为高的矩形面积等于曲边梯形的面积。

积分中值定理的几何意义

积分中值定理表明，在区间 \([a, b]\) 上至少存在一点 \( \xi \)，使得以 \( f(\xi) \) 为高的矩形面积等于曲边梯形的面积。下面的图形演示了这一几何意义：

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中值点 ξ = 计算中...